Στοιχεία θεωρίας.

 

1.Αρχή της λειτουργίας  του  ηλεκτρόμετρου  στρέψης.

      

       Έστω ότι  έχουμε  ένα  μεταβλητό  πυκνωτή  με  επίπεδους  παράλληλους  οπλισμούς, που  ο  ένας  μπορεί να  στραφεί  γύρω  από έναν  άξονα  κάθετο  προς το επίπεδο  τους.

       Έστω  τώρα,  ότι αυτός ο πυκνωτής δεν συνδέεται  με άλλον  αγωγό, και έτσι το φορτίο q  μένει σταθερό. Για να βρούμε τη ροπή Ν , που ασκείται από τον ακίνητο οπλισμό στον κινητό , εφαρμόζουμε την αρχή των δυνατών έργων . Αν η γωνία φ αυξάνεται  κατά dφ ,οπότε  το έργο της ροπής θα είναι  Νdφ . Ταυτόχρονα θα έχουμε δαπάνη της ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου που μεταβάλλεται κατά dW . Τότε :

 

                                         (1)  Νdφ + dW=0       Ν=-

 

Είναι όμως  W=     Άρα  (q=στθ ):

 

                                            (2)  Ν=

 

Η ροπή τείνει να αυξήσει τη χωρητικότητα του συστήματος . Θέτουμε c=k*φ  όπου η σταθερά k εξαρτάται από τα γεωμετρικά στοιχεία του συστήματος. Με τη βοήθεια της σχέσης q=cv η (2)  γράφεται :

                                         (3) Ν=(1/2)kv2

Στην ίδια σχέση καταλήγουμε και όταν παραμένει σταθερή η τάση. Πρέπει όμως κατά τον υπολογισμό του έργου να παρθεί υπ' όψη το έργο , που παράγεται από την πηγή , που διατηρεί σταθερή την τάση , αφού θα μεταβάλλεται το φορτίο.

Αν ο κινητός οπλισμός συνδέεται με ένα ελατήριο ελαστικής σταθεράς  D και βρίσκεται σε ισορροπία στη θέση φο όταν v=0 τότε όταν εμφανιστεί τάση v ,θα ισορροπήσει σε μια θέση φ , τέτοια ώστε :

                                                   (1/2)kv2-D(φ-φο)=0

                                         (4) φ-φο=(kv2)/(2D)

Παρατηρούμε , ότι η απόκλιση είναι ανάλογη με το τετράγωνο της τάσης . Το σύστημα αποτελεί την αρχή των ηλεκτροστατικών  βολτομέτρων.

 

2. Το ηλεκτρόμετρου με τεταρτοκύκλια.

 

 Μεταξύ τεσσάρων διπλότοιχων τεταρτοκυκλίων στρέφεται η ελαφρή βελόνα Β,που είναι κρεμασμένη από ένα νήμα . Η βελόνα παρουσιάζει ελαστικότητα στρέψης και φέρει ένα μικρό κάτοπτρο . Τα απέναντι τεταρτοκύκλια είναι βραχυκυκλωμένα . Η σχέση μεταξύ της απόκλισης και των τάσεων βρίσκεται με την βοήθεια της (4). Έστω Vo το δυναμικό της βελόνας και V1,V2  τα δυναμικά των τεταρτοκυκλίων  Τ1,Τ3 και Τ2,Τ4 αντίστοιχα.  Η βελόνα θα στραφεί προς το ζεύγος των τερτατοκυκλίων με την απόλυτα μεγαλύτερη διαφορά δυναμικού ως προς την βελόνα . Σ’ αυτή τη στροφή αντιτίθενται η ροπή από το άλλο ζεύγος και η ροπή στρέψης του νήματος . Δηλαδή :

 

                                         (1/2) k (V1-Vo)2-(1/2) k (V2-Vo)2-D(φ-φο)=0

 

                                                                                                               ( |V1-Vo | > |V2-Vo | )

Άρα η απόκλιση φ-φο είναι :

                                         (5) φ-φο=k/(2D)*[(V1-Vo)2-(V2-Vo )]

Στη άσκησή μας το όργανο συνδέεται με την παρακάτω συνδεσμολογία γνωστή και ως « Μέθοδος των τερτατοκυκλίων» Με το U παριστάνεται η τάση που έχουμε να μετρήσουμε.

 

 

H μέθοδος αυτή χρησιμοποιεί βοηθητική τάση . Έχουμε:V1=Vb , V2=U+Vb , Vo=Vb+V

Η (5) δίνει :

                                     (6) φ-φο=[k (2V-U) U]/(2D)

 

Αν τώρα η τάση που θα μετρήσουμε (U) είναι πολύ μικρότερη της τάσης V η (8) δίνει:

 

                                      (7) φ-φο=(kVU)/D   U<<V

 

 Το ηλεκτρόμετρο βαθμολογείται με την εφαρμογή γνωστών τάσεων .

 

 

 

 

3. Μέτρηση μεγάλων αντιστάσεων .

 

Η μέτρηση μιας αντίστασης R ανάγεται στην μέτρηση με ηλεκτρόμετρο της τάσης U ενός πυκνωτή που εκφορτίζεται μέσα από την R, όταν είναι γνωστές η χωρητικότητα C και η αρχική τάση Uo του πυκνωτή , και ο χρόνος  t .

Από τη σχέση U=Uoe(-t/RC) έχουμε : R=(t/C)ln(Uo/U) Στην πράξη παρακολουθούμε την ελάττωση της τάσης σε συναρτήσει με το χρόνο και χαράζουμε την ευθεία  ln(Uo/U)=t/(RC). Από την κλίση αυτής της ευθείας προκύπτει η σταθερά του χρόνου τ=RC και απ ' αυτήν και την C, η αντίσταση R.

Στη μέτρηση παρεμβάλλονται, εκτός από την άγνωστη R και την γνωστή χωρητικότητα C, οι αντιστάσεις διαρροής του πυκνωτή Rc και του ηλεκτρόμετρου Rh ,καθώς και η χωρητικότητα του Ch ,που μεταβάλλεται με τη τάση.

Η σταθερά του χρόνου , που προσδιορίζεται από τις μετρήσεις κατά το σχήμα 6 είναι :

                                    τ1=(C+Ch)(R-1+ Rc -1+RΗ-1)-1           (i)

Αν αποσυνδεθεί η R , μετριέται η :

                                    τ2=(C+CΗ)(Rc-1+RΗ-1)-1                                      (ii)        

Αν αποσυνδεθεί η C , μετριέται η :

                                                τ3=CΗ(R-1+Rh-1)-1                       (iii)

Aν αποσυνδεθούν οι R και C μετριέται η :

                                                τ4=CHRH                                                       (iv)

Από τα πειράματα (i) ,(ii), (iii),(iv) προσδιορίζονται τα R,Rc,CHRH

Στην πράξη διαλέγονται C>>>Ch και RH>>>Rc>>R ώστε από τα παραπάνω πειράματα να χρειάζονται μόνο τα (i)  και (ii), που μας δίνουν :

                                             (8)   τ1=C(R-1+Rc-1)-1

και                                        (9)   t2=RcC

Από το σύστημα (8) ,(9) προσδιορίζονται εύκολα οι αντιστάσεις R και Rc.

 

 

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ

 

Πραγματοποιούμε το παρακάτω κύκλωμα.

 

 Καταρχάς, βαθμονομούμε το ηλεκτρόμετρο εφαρμόζοντας στα άκρα του τάση τέτοια ώστε να πάρουμε την ένδειξη 100. Η τάση που απαιτείται είναι 2,965 +/- 0,005 V. Έτσι για την κλίμακα του ηλεκτρομέτρου είναι Κ=(29,65 +/- 0,05)10-3 V/υποδ.

Στη συνέχεια φορτίζουμε τον πυκνωτή με τέτοια τάση ώστε η απόκλιση της κηλίδας να είναι στο μέγιστο της κλίμακας . Μετά αφήνουμε τον πυκνωτή να εκφορτιστεί μέσω της R , μετρώντας την τάση του πυκνωτή συναρτήσει του χρόνου. Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στον πίνακα 1.

 

ΠΙΝΑΚΑΣ 1

t(sec)

ενδ.ηλεκ

t(sec)

ενδ.ηλεκ

0

100

330

27

30

88

360

24

60

81

390

22

90

68

420

20,25

120

60,5

450

18,5

150

54

480

16,75

180

48

510

15

210

43

540

13,75

240

39

570

12,5

270

34,5

600

11,2

300

31

630

10

 

 

Προσδιορίζουμε μέσω της ένδειξης του ηλεκτρόμετρου , την πραγματική τάση του πυκνωτή σε Volt με το σφάλμα της.

 V=K*H δV= δΚ*Η.

Επίσης βρίσκουμε για κάθε μέτρηση την ποσότητα ln(Vo/V) (V0 η αρχική τάση φόρτισης του πυκνωτή). Έτσι έχουμε :

Τ=ln(Vo/V) και δΤ=

και καταλήγουμε στον παρακάτω πίνακα:

 

                                                 ΠΙΝΑΚΑΣ 2

 

t(sec)

U(V)

Δ(U) (V)

T

ΔΤ

t(sec)

U(V)

Δ(U) (V)

T

ΔΤ

0

2,965

0,005

0

0,0024

330

0,8006

0,0014

1,3093

0,0024

30

2,609

0,004

0,1278

0,0024

360

0,7116

0,0012

1,4271

0,0024

60

2,402

0,004

0,2107

0,0024

390

0,6523

0,0011

1,5141

0,0024

90

2,016

0,003

0,3857

0,0024

420

0,6004

0,0010

1,5970

0,0024

120

1,794

0,003

0,5025

0,0024

450

0,5485

0,0009

1,6874

0,0024

150

1,601

0,003

0,6162

0,0024

480

0,4966

0,0008

1,7867

0,0024

180

1,423

0,002

0,7340

0,0024

510

0,4448

0,0008

1,8971

0,0024

210

1,275

0,002

0,8440

0,0024

540

0,4077

0,0007

1,9841

0,0024

240

1,156

0,002

0,9416

0,0024

570

0,3706

0,0006

2,0794

0,0024

270

1,022925

0,001725

1,064211

0,002385

600

0,33208

0,00056

2,189256

0,002385

300

0,91915

0,00155

1,171183

0,002385

630

0,2965

0,0005

2,302585

0,002385

 

 Ακολουθεί η γραφική παράσταση της ευθείας ln(Vo/V)=f(t) και από την κλήση της (με τη βοήθεια της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων) προκύπτει η σταθερά χρόνου τ1 αφού = κλίση της ευθείας.

 

 

 

με τη βοήθεια της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων έχουμε: Β1=(3,62 + 0,04) 10-3 (ΩF)-1

 

Στη συνέχεια φορτίζουμε πάλι τον πυκνωτή στο max και τον αφήνουμε να εκφορτιστεί μέσω της αντίστασης  του Rc, αποσυνδέοντας την αντίσταση R, μετρώντας την τάση του  πυκνωτή συναρτήσει του χρόνου . Έτσι παίρνουμε τις παρακάτω μετρήσεις :

 

 

 

 

 

 

 

 

ΠΙΝΑΚΑΣ 3

 

t(sec)

ενδ.ηλεκ

t(sec)

ενδ.ηλεκ

t(sec)

ενδ.ηλεκ

0

100

330

92

900

87,5

30

99

360

91,5

960

87,2

60

97

390

91,1

1020

87

90

96

420

91

1080

86,8

120

95

480

90,25

1140

86,5

150

94,25

540

90

1320

85,8

180

93,9

600

89,25

1440

85,2

210

93,5

660

89

1560

85

240

93

720

88,7

1680

84,6

270

92,5

780

88,2

1800

84,1

300

92,1

840

88

 

 

 

 

 

Με όμοιο τρόπο με την προηγούμενη διαδικασία προσδιορίζουμε τα V,δV,Τ,δΤ Έτσι προκύπτει ο πίνακας 4:

 

 

ΠΙΝΑΚΑΣ 4

 

 

t(sec)

U(V)

Δ(U) (V)

T

ΔΤ

t(sec)

U(V)

Δ(U) (V)

T

ΔΤ

0

2,965

0,005

0

0,0024

540

2,669

0,005

0,1054

0,0024

30

2,935

0,005

0,0101

0,0024

600

2,646

0,005

0,1137

0,0024

60

2,876

0,005

0,0305

0,0024

660

2,639

0,005

0,1165

0,0024

90

2,846

0,005

0,0408

0,0024

720

2,630

0,004

0,1199

0,0024

120

2,817

0,005

0,0513

0,0024

780

2,615

0,004

0,1256

0,0024

150

2,795

0,005

0,0592

0,0024

840

2,609

0,004

0,1278

0,0024

180

2,784

0,005

0,0629

0,0024

900

2,594

0,004

0,1335

0,0024

210

2,772

0,005

0,0672

0,0024

960

2,586

0,004

0,1370

0,0024

240

2,758

0,005

0,0726

0,0024

1020

2,580

0,004

0,1392

0,0024

270

2,743

0,005

0,0780

0,0024

1080

2,574

0,004

0,1417

0,0024

300

2,731

0,005

0,0823

0,0024

1140

2,565

0,004

0,1450

0,0024

330

2,728

0,005

0,0833

0,0024

1320

2,544

0,004

0,1531

0,0024

360

2,713

0,005

0,0888

0,0024

1440

2,526

0,004

0,1602

0,0024

390

2,701

0,005

0,0932

0,0024

1560

2,520

0,004

0,1625

0,0024

420

2,699

0,005

0,0943

0,0024

1680

2,508

0,004

0,1672

0,0024

480

2,676

0,005

0,1026

0,0024

1800

2,494

0,004

0,1732

0,0024

 

Όμοια με πριν, χαράζουμε την ευθεία ln(Vo/V)=f(t)

 

 

 

 

Η κλίση της είναι Β2=(8,3+ 0,6) 10-5  (ΩF)-1

Έχουμε 1/RC=B οπότε (γνωστή η χωρητικότητα του πυκνωτή C=2*10-6 F) υπολογίζουμε την R και Rc.

Είναι Rc=1/CB2 και δRc=RδΒ2/Β2    

 

Rc= 6,02+0,44 GΩ

Όμοια                                                      Rολ=138+2 ΜΩ

Ακόμα   

 

 

            και   

 

 

 

Έτσι        R=141+2  MΩ

 

Χρησιμοποιήθηκε το ακόλουθο λογισμικό.

Microsoft Excel  97   (υπολογισμοι διάδοσης σφαλμάτων)

Microsoft Word 97    (τελική επεξεργασία)

Microsoft Qbasic      (εκτέλεση της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων)

PL1                           (εξaγωγή μέσων τιμών-σφαλμάτων από διαδοχικές μετρήσεις)

 

 

Συνυπολογίστηκαν τα παρακάτω σφάλματα οργάνων.

 

Σφάλμα ηλεκτρονικού βολτομέτρου                      0,005  V

Σφάλμα ηλεκτρονικού χρονομέτρου                      0,005  sec