Στοιχεία θεωρίας.
1. Μαγνητικό
πεδίο κυκλικού αγωγού στον άξονά του
Το στοιχειώδες μαγνητικό
πεδίο dB σε
σημείο του χώρου Σ , που οφείλεται στο στοιχείο dl ρευματοφόρου αγωγού δίνεται από τη σχέση των Biot-Savart :
(1)
όπου το άνυσμα r διευθύνεται από το στοιχείο dl στο
θεωρούμενο σημείο Σ, και Ι είναι το ρεύμα του αγωγού.
Στην περίπτωση του κυκλικού αγωγού και σε σημείο του
άξονα του , το διάνυσμα dB μπορεί να αναλυθεί σε κάθετη
και παράλληλη συνιστώσα ως προς τον άξονα του κυκλικού αγωγού .Λόγω της
συμμετρίας η κάθετη συνιστώσα συνολικά εξαφανίζεται και έτσι η τελική
συνεισφορά του κυκλικού ρεύματος στο
σημείο Σ, είναι μαγνητικό πεδίο παράλληλο με τον άξονα , που έχει μέτρο :
(2)
Αλλά επειδή και ημφ=R/r έχουμε τελικά :
(3)
2. Μαγνητικό πεδίο κυκλικών ,
ομόρροπων ομοαξονικών ρευμάτων ίδιας ακτίνας R , που βρίσκονται σε απόσταση
l .
Στο σημείο Σ πάνω στον κοινό άξονα , που απέχει από
το μέσο Μ της απόστασης μεταξύ των δυο
κύκλων , απόσταση x, και αν η γεωμετρία της διάταξης είναι τέτοια ώστε R=2l, το
μαγνητικό πεδίο Β που οφείλεται στους δυο βρόχους 1 και 2 και οι οποίοι
διαρρέονται από το ίδιο ρεύμα Ι θα
είναι :
(4)
|
Αν 9x4<<125*l4 ή x<< (7) Β=0,715 μ *Ι /R |
Συγκριτικά αναφέρεται ότι στη θέση x=l/2 το
πεδίο έχει ελαττωθεί , σε σύγκριση με την τιμή που έχει στην θέση x=0 ,
κατά 4,5%.
Αν υπάρχουν Ν σπείρες με συνολικό εύρος μικρό σε
σχέση με τα l και R ώστε πρακτικά να αποτελούν
κυκλικό αγωγό , θα έχουμε
(8) Β=0,715μo iΝ /R
Έτσι όταν δυο κυκλικά , ομόρροπα , ομοαξονικά
ρεύματα ίδιας ακτίνας , βρίσκονται σε
απόσταση ίση προς την ακτίνα τους, τότε το μαγνητικό πεδίο κατά μήκος του άξονα
τους είναι πρακτικά ομογενές . Το σύστημα αυτό ονομάζεται : «πηνία Helmholtz» .
3. Κίνηση ηλεκτρονίων σε
ομογενές μαγνητικό πεδίο . Υπολογισμός του πηλίκου e/Me.
Έστω ηλεκτρόνια που εκπέμπονται θερμιονικά από
κάθοδο , επιταχύνονται από ανοδική τάση V , τότε η ταχύτητα εξόδου
από την περιοχή της ανοδικής τάσης θα
δίνεται από τη σχέση :
(9) eV=(me*U2)/2
Αν τώρα τα ηλεκτρόνια εισέρχονται με ταχύτητα U κάθετα
σε μαγνητικό πεδίο έντασης Β , θα έχουμε :
(10) eUB=(
me * U2)/r
όπου r η ακτίνα της κυκλικής
τροχιάς και Μe η μάζα του ηλεκτρονίου .
Απαλείφοντας την ταχύτητα U από τις σχέσεις (9) και
(10) έχουμε:
(11) e/Me=2V/(Br)2
Έτσι μετρώντας
το V , το r και
το Β μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή του e/Me
.
4. Πειραματική διάταξη .
Η πειραματική διάταξη αποτελείται από λυχνία σφαιρικού σχήματος που περιέχει
υδρογόνο σε χαμηλή πίεση. Μέσα σ’ αυτήν βρίσκεται ηλεκτρονικό «τηλεβόλο» για
την εκπομπή και επιτάχυνση των ηλεκτρονίων. Η λυχνία είναι κατάλληλα στηριγμένη
μεταξύ των πηνίων Helmholtz. Τα ηλεκτρόνια που εκπέμπονται από το ηλεκτρονικό
τηλεβόλο συγκρούονται με τα μόρια του αερίου και έτσι τα εξαναγκάζουν να
εκπέμψουν φως μέσω του οποίου γίνεται ορατή η τροχιά τους. Το πεδίο όμως που
παράγεται από τα πηνία Helmholtz είναι συγκρίσιμο με το
μαγνητικό πεδίο της Γης. Έτσι το μαγνητικό πεδίο Β που υπεισέρχεται στον τύπο
(11) θα είναι το πεδίο που παράγεται από τα πηνία , συν τη συνιστώσα του γήινου
μαγνητικού πεδίου την παράλληλη προς το πεδίο Βπ των πηνίων Helmholtz .
Δηλαδή θα έχουμε :
Β=Βπ+Βγ
Τώρα η σχέση (11)
γράφεται :
ή
ή
ή
όπου k=
Έτσι για V=σταθ. Η σχέση Βπ=f(1/r)
είναι ευθεία με κλίση k και τεταγμένη ως προς την
αρχή Βγ. Υπολογίζοντας την κλίση της ευθείας Βπ=f(1/r) μπορούμε να βρούμε το
πηλίκο e/Me από την σχέση :
(14) e/Me=2V/k2
Για να ελαττώσουμε τα τυχαία σφάλματα , μπορούμε να
χαράξουμε τις ευθείες Βπ=f(1/r) για διάφορες τιμές της
τάσης V, να υπολογίσουμε το πηλίκο e/Me για κάθε μια απ’ αυτές και
τελικά να βρούμε τη μέση τιμή του.
Πειραματική διαδικασία
Αφού πραγματοποιήσουμε το κύκλωμα της άσκησης, ρυθμίζουμε την ανοδική τάση Vα στην τιμή των 200V και μετράμε την ακτίνα r της τροχιάς των ηλεκτρονίων μέσα στο μαγνητικό πεδίο των πηνίων Helmholtz .(Η ακτίνα της τροχιάς μετρείται στη θέση της κλίμακας όπου η τροχιά συμπίπτει με το είδωλό της , δεξιά και αριστερά. Αυτή η διαδικασία επαναλαμβάνεται για διάφορες τιμές της ανοδικής τάσης και του ρεύματος των πηνίων. Tα αποτελέσματα παρουσιάζονται στους παρακάτω πίνακες.
|
|
|
|
Vα =200V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I (A) |
r (m) |
d (cm) |
Bπ (Τ) |
δBπ (Τ) |
1/r (m-1) |
δ1/r (m-1) |
|
1,6 |
0,0325 |
6,5 |
0,0012459 |
0,00004 |
30,769231 |
1,893491124 |
|
1,7 |
0,031 |
6,2 |
0,0013238 |
0,00004 |
32,258065 |
2,081165453 |
|
1,8 |
0,03 |
6 |
0,0014017 |
0,00004 |
33,333333 |
2,222222222 |
|
1,9 |
0,0295 |
5,9 |
0,0014795 |
0,00004 |
33,898305 |
2,298190175 |
|
2 |
0,0275 |
5,5 |
0,0015574 |
0,00004 |
36,363636 |
2,644628099 |
|
2,1 |
0,027 |
5,4 |
0,0016353 |
0,00004 |
37,037037 |
2,743484225 |
|
2,2 |
0,0255 |
5,1 |
0,0017131 |
0,00004 |
39,215686 |
3,0757401 |
|
2,3 |
0,025 |
5 |
0,001791 |
0,00004 |
40 |
3,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vα
=220V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I (A) |
r (m) |
d (cm) |
Bπ (Τ) |
δBπ (Τ) |
1/r (m-1) |
δ1/r (m-1) |
|
1,6 |
0,037 |
7,4 |
0,0012459 |
0,00004 |
27,027027 |
1,46092038 |
|
1,7 |
0,035 |
7 |
0,0013238 |
0,00004 |
28,571429 |
1,632653061 |
|
1,8 |
0,0325 |
6,5 |
0,0014017 |
0,00004 |
30,769231 |
1,893491124 |
|
1,9 |
0,031 |
6,2 |
0,0014795 |
0,00004 |
32,258065 |
2,081165453 |
|
2 |
0,029 |
5,8 |
0,0015574 |
0,00004 |
34,482759 |
2,378121284 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vα
=240V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I (A) |
r (m) |
d (cm) |
Bπ (Τ) |
δBπ (Τ) |
1/r (m-1) |
δ1/r (m-1) |
|
1,6 |
0,04 |
8 |
0,0012459 |
0,00004 |
25 |
1,25 |
|
1,7 |
0,0375 |
7,5 |
0,0013238 |
0,00004 |
26,666667 |
1,422222222 |
|
1,8 |
0,035 |
7 |
0,0014017 |
0,00004 |
28,571429 |
1,632653061 |
|
1,9 |
0,0325 |
6,5 |
0,0014795 |
0,00004 |
30,769231 |
1,893491124 |
|
2 |
0,031 |
6,2 |
0,0015574 |
0,00004 |
32,258065 |
2,081165453 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vα
=260V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I (A) |
r (m) |
d (cm) |
Bπ (Τ) |
δBπ (Τ) |
1/r (m-1) |
δ1/r (m-1) |
|
1,6 |
0,042 |
8,4 |
0,0012459 |
0,00004 |
23,809524 |
1,133786848 |
|
1,7 |
0,04 |
8 |
0,0013238 |
0,00004 |
25 |
1,25 |
|
1,8 |
0,038 |
7,6 |
0,0014017 |
0,00004 |
26,315789 |
1,385041551 |
|
1,9 |
0,03625 |
7,25 |
0,0014795 |
0,00004 |
27,586207 |
1,521997622 |
|
2 |
0,035 |
7 |
0,0015574 |
0,00004 |
28,571429 |
1,632653061 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vα
=280V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I (A) |
r (m) |
d (cm) |
Bπ (Τ) |
δBπ (Τ) |
1/r (m-1) |
δ1/r (m-1) |
|
1,6 |
0,046 |
9,2 |
0,0012459 |
0,00004 |
21,73913 |
0,945179584 |
|
1,7 |
0,0425 |
8,5 |
0,0013238 |
0,00004 |
23,529412 |
1,107266436 |
|
1,8 |
0,0405 |
8,1 |
0,0014017 |
0,00004 |
24,691358 |
1,219326322 |
|
1,9 |
0,038 |
7,6 |
0,0014795 |
0,00004 |
26,315789 |
1,385041551 |
|
2 |
0,035 |
7 |
0,0015574 |
0,00004 |
28,571429 |
1,632653061 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vα
=300V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I (A) |
r (m) |
d (cm) |
Bπ (Τ) |
δBπ (Τ) |
1/r (m-1) |
δ1/r (m-1) |
|
1,6 |
0,049 |
9,8 |
0,0012459 |
0,00004 |
20,408163 |
0,832986256 |
|
1,7 |
0,0425 |
8,5 |
0,0013238 |
0,00004 |
23,529412 |
1,107266436 |
|
1,8 |
0,04 |
8 |
0,0014017 |
0,00004 |
25 |
1,25 |
|
1,9 |
0,039 |
7,8 |
0,0014795 |
0,00004 |
25,641026 |
1,314924392 |
|
2 |
0,037 |
7,4 |
0,0015574 |
0,00004 |
27,027027 |
1,46092038 |
Το Β υπολογίστηκε από τον τύπο Β=0,715μoiΝ/R για
Ν=130 σπείρες, R=0,15m και με σφάλμα δΒ=Β*δI/Ι ενώ δ1/r=δr/r2
Στη συνέχεια χαράζουμε τις ευθείες Βπ=f(1/r) για τις διάφορες τιμές της Vα.
Με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων για την Βπ=k/r-Βγ
υπολογίζουμε την κλίση των ευθειών και έχουμε:
Για V=200 Volt k=(5,7+0,3)10-5 Tm
V=220 Volt k=(4,17+0,16) 10-5 Tm
V=240 Volt k=(4,17+0,13) 10-5 Tm
V=260 Volt k=(6,4+0,16) 10-5 Tm
V=280 Volt k=(4,7+0,3) 10-5 Tm
V=300 Volt k=(4,69+0,8) 10-5 Tm
Από τον τύπο (14) e/me=2V/k2
και με σφάλμα δ e/me =
έχουμε τον παρακάτω πίνακα:
|
V (Volt) |
δV (Volt) |
K (T m) |
δΚ (T m) |
e/me(Cb/kgr) |
δ e/me(Cb/kgr) |
|
200 |
2 |
5,69618E-05 |
2,91338E-06 |
1,2328E+11 |
12670742760 |
|
220 |
2 |
4,16551E-05 |
1,5869E-06 |
2,53581E+11 |
19457970364 |
|
240 |
2 |
4,16615E-05 |
1,29483E-06 |
2,76548E+11 |
17343835676 |
|
260 |
2 |
6,41147E-05 |
1,63234E-06 |
1,26499E+11 |
6514355211 |
|
280 |
2 |
4,70242E-05 |
3,02011E-06 |
2,53247E+11 |
32579643287 |
|
300 |
2 |
4,6913E-05 |
7,66611E-06 |
2,72625E+11 |
89118540130 |
Με τη μέθοδο συνεκτίμησης σφαλμάτων διαφορετικών
μετρήσεων έχουμε :
e/me =(1,52+0,05) 1011 Cb/Kgr
Η τιμή που βρήκαμε πειραματικά είναι πολύ κοντά στην
πραγματική e/Me=1,75880 1011Cb/Kgr.
H απόκλιση οφείλεται στα σφάλματα που υπεισέρχονται
κύρια λόγω της αδυναμίας μέτρησης με ακρίβεια της ακτίνας της τροχιάς των
ηλεκτρονίων. Αυτό συμβαίνει και λόγω της μη σωστής εστίασης ( δεν έχουμε κύκλο
αλλά ένα κυκλικό νέφος) αλλά και γιατί τα ηλεκτρόνια δεν εκτοξεύονται κάθετα
προς την ακτίνα, αλλά με κάποια -μικρή- απόκλιση, οπότε διαγράφουν σπειροειδή
τροχιά.
Τελικά υπολογίζουμε την ταχύτητα U των
εξερχόμενων Από την άνοδο ηλεκτρονίων
για κάθε τιμή της τάσης Vα. Από τη σχέση (9) έχουμε: και δU=
Έτσι καταλήγουμε στο παρακάτω πίνακα:
|
V (Volts) |
U
(m/sec) |
δU
(m/sec) |
|
200 |
7797435,476 |
134042,4128 |
|
220 |
8178019,32 |
139549,0002 |
|
240 |
8541662,602 |
144925,8734 |
|
260 |
8890444,308 |
150169,2702 |
|
280 |
9226050,076 |
155280,4884 |
|
300 |
9549869,109 |
160263,4892 |
Και μετά τις στρογγυλοποιήσεις :
|
V (Volts) |
U
(m/sec) |
δU
(m/sec) |
|
200 |
7.800.000 |
130.000 |
|
220 |
8.200.000 |
140.000 |
|
240 |
8.500.000 |
150.000 |
|
260 |
8.900.000 |
150.000 |
|
280 |
9.200.000 |
160.000 |
|
300 |
9.500.000 |
160.000 |
Παρατηρούμε ότι η ταχύτητα των εξερχόμενων
ηλεκτρονίων είναι πολύ μεγάλη
προσεγγίζοντας κλάσμα του c (2,6 ως 3,2 % της ταχύτητας του
φωτός).
Χρησιμοποιήθηκε το ακόλουθο λογισμικό.
Microsoft Excel
97 (υπολογισμοι διάδοσης
σφαλμάτων-μη γραμμική παλινδρόμηση)
Microsoft Word 97
(τελική επεξεργασία)
Microsoft Qbasic (εκτέλεση της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων)
PL1 (εξaγωγή μέσων τιμών-σφαλμάτων από
διαδοχικές μετρήσεις)
Συνυπολογίστηκαν τα παρακάτω σφάλματα οργάνων.
Σφάλμα βολτομέτρου 2 V
Σφάλμα αμπερομέτρου 0,05 A
Σφάλμα ανάγνωσης ακτίνας τροχιάς 0,002 m