Στοιχεία θεωρίας.

 

 

1. Γενικά

Ένα ορθογώνιο πλαίσιο με n σπείρες , που διαρρέεται από ρεύμα I και βρίσκεται σε ομογενές μαγνητικό πεδίο Β , δέχεται μαγνητική ροπή:

                                     Ν1=nIS*B  με μέτρο Ν1=nl1l2BΙσυνθ

 όπου l1, l2 οι πλευρές του πλαισίου , με την l1 κάθετη στο Β και 90-θ είναι η γωνία της καθέτου του πλαισίου με το πεδίο Β.

Αν το πλαίσιο είναι εξαρτημένο από νήμα ή ελατήριο με ελαστική σταθερά D και η θέση φ=0 ( πλαίσιο παράλληλο με το πεδίο ) είναι θέση ισορροπίας , τότε στη θέση φ θα έχουμε ροπή

                                          (1)         Ν2=-Dφ

Το πλαίσιο υπό την επίδραση σταθερού ρεύματος Ι  θα στραφεί και θα ισορροπήσει στη θέση φο στην οποία

Ν1+ Ν2=0. Επειδή το πεδίο είναι ομογενές  έχουμε θ=φο και η συνθήκη ισορροπίας μας δίνει :

                                     φο=(kΙσυνφο)/D

Παρατηρούμε  ότι δεν έχουμε   αναλογία μεταξύ γωνίας στροφής φο και Ι , εκτός αν φ=0 , δηλαδή για μικρά ρεύματα.

Για την επίτευξη αναλογίας ανάμεσα στα φο και Ι , το μαγνητικό κύκλωμα του μόνιμου μαγνήτη διαμορφώνεται έτσι , ώστε στην περιοχή των πλευρών l1 η γωνία θ να είναι μηδέν για κάθε φ. Για το λόγο αυτό το διάκενο του μαγνήτη παίρνει σχήμα κυλίνδρου μέσα στον οποίο τοποθετείται ομοαξονικά ακίνητος κύλινδρος από μαλακό σίδηρο. Στο  διάκενο το μέτρο του Β είναι σταθερό πάνω στην κυλινδρική επιφάνεια με ακτίνα l2/2 , που είναι ομοαξονική με το διάκενο .

 

 

H ροπή Ν1 γράφεται:

                                                   (2) Ν1=nl1l2BΙ =kI

και η συνθήκη Ν1+Ν2=0 δίνει:

                                                   (3)      φο=(k/D)I

 

 

2.  Ευαισθησία γαλβανόμετρου

 

Η ευαισθησία ρεύματος  Ei ορίζεται από τη σχέση Εi=φο/Ι.Από την (3) φαίνεται ότι:

                                                  (4)       Εi=k/D=B l1l2/D

Η εισαγωγή του κυλίνδρου , εκτός από τη σταθερότητα της ευαισθησίας , προκαλεί και αύξηση της, γιατί για δεδομένη μαγνήτιση του υλικού , το Β στο στενό κυλινδρικό διάκενο είναι μεγαλύτερο από όσο θα ήταν χωρίς τον κύλινδρο .(Ελάττωση της μαγνητικής αντίστασης)

Η ευαισθησία τάσης  του γαλβανόμετρου ορίζεται από τη σχέση Ευ=φο/υ όπου υ=ΙR  η τάση στους ακροδέκτες του οργάνου και R η αντίσταση που παρεμβάλλεται ανάμεσά τους . Ανάμεσα στις ευαισθησίες ρεύματος και τάσης υπάρχει η σχέση

                                                (5)          Ευ=φο/υ=φο/(IR)=Ei/R

Από τη (4) φαίνεται ότι η ευαισθησία έχει μονάδα rad/A. Στην πράξη δεν μετράμε τη γωνία φο αλλά την αντίστοιχη απόκλιση S ενός φωτεινού δείκτη πάνω σε μια κλίμακα που απέχει L από το κάτοπτρο του γαλβανόμετρου . Στην άσκηση η απόκλιση S αντιστοιχεί σε στροφή της ανακλώμενης δέσμης 2φο=S/L (Σχ.2), ώστε Εi=S/(2LI) . Μετράμε το S  σε mm και το L σε m , οπότε η  Εi έχει μονάδα mm/(A*m).Οπότε

              (6)          Εi (mm/Am)=S(mm)/[I(A)*L(m)]        Ei(rad/A)=5 10 -4  Ei(mm/Am)

 

 

 

 

3.Μελέτη της κίνησης του γαλβανόμετρου

 

 

Ασχολούμαστε με την κίνηση του πλαισίου μέχρι την αποκατάσταση της ισορροπίας . Η εξίσωση της στροφικής κίνησης είναι  θφ΄΄=ΣΝ

Πάνω στο πλαίσιο έχουμε τις ροπές :

α)   Ροπή Laplace του μετρούμενου ρεύματος                :          Ν1=kI

β)   Ροπή επαναφοράς από το σύστημα ανάρτησης       :          Ν2=-Dφ

γ)   Ροπή από μηχανικές τριβές                                    :          Ν3=-Ρφ΄               (φ΄=dφ/dt)

δ)   Ροπή  Laplace N4 του ρεύματος επαγωγής που δημιουργείται στο κλειστό κύκλωμα . Έχουμε Ιεπ=Εεπ/Rολ . Ο υπολογισμός της Εεπ γίνεται ευκολότερα με τη χρήση του τύπου Εεπ=Βυl αντί του τύπου Εεπ=-dΦ /dt  . Οι πλευρές  l1 κινούνται με αντίθετες ταχύτητες μέτρου υ=(l2/2)φ΄ μέσα σε αντίθετα πεδία μέτρου Β . Συνεπώς οι ΗΕΔ επαγωγής στις δυο πλευρές l1 έχουν το ίδιο πρόσημο και έχουμε Εεπ=2Β(n*l1)(l2/2)φ΄=kφ΄. Άρα           Ιεπ=-(k/Rολ)φ΄ και η Ν4 γράφεται :  Ν4=-(k/Rολ)φ΄.

Παρατηρούμε ότι η Ν4 παίζει ρόλο ροπής τριβής όπως και η Ν3 .

Η διαφορική εξίσωση κίνησης γράφεται :

                                                       (7α)         θφ΄΄+[Ροο+(k2)/Rολ]φ΄+Dφ=kI       

όπου  φ΄=dφ /dt     και   φ΄΄=dφ /dt

και έχει την τυπική μορφή της εξίσωσης εξαναγκασμένης ταλάντωσης . Η ολική σταθερά απόσβεσης είναι :

                                                       Ρ= Ροο +(k2)/Rολ

Θα περιορισθούμε στη μελέτη της  (7α) για σταθερό ρεύμα Ι.

Στην περίπτωση αυτή  η (7α)  ανάγεται στην (κανονικοποιημένη) ομογενή εξίσωση

                                                      (7β)          ξ΄΄+2ωnξ΄+ω2ξ=0

όπου θέσαμε (Βλ. και εξίσωση 3)

                                                                       φ=(k/D)I+ξ

(8)         ω=          

                   n=P/2θω

Η ω είναι η ιδιοσυχνότητα της αμείωτης ταλάντωσης και n είναι η ανηγμένη σταθερά απόσβεσης ή παράγων απόσβεσης . Η γωνία ξ είναι η απόκλιση από τη θέση ισορροπίας φο. Η (7β) δηλώνει ότι το πλαίσιο, που διαρρέεται από ρεύμα Ι εκτελεί ταλάντωση γύρω από τη θέση ισορροπίας, που αντιστοιχεί στο Ι , όμοια με την ταλάντωση γύρω από τη θέση ισορροπίας με ρεύμα Ι=0 , όταν το κλειστό κύκλωμα έχει την ίδια ολική αντίσταση Rολ. Η χαρακτηριστική εξίσωση της (7β)  σ2+2nωσ+ω2=0  έχει ρίζες

σ = -nω+-ω(n2-1)1/2

                              

 

 

                               Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

 

Α)    Μικρή απόσβεση :  n<1

Έχουμε  σ = -nω +/- jω.Αν ορίσουμε

                                                   (9)             ω=ω

οι λύσεις της (7α) έχουν τη μορφή

                                                  

Οι σταθερές Α,Β προσδιορίζονται από τις αρχικές τιμές φ(0) και φ΄(0). Θα θεωρήσουμε δυο περιπτώσεις που συναντάμε στην πράξη .

1. Ακαριαίος μηδενισμός του ρεύματος

Για   στην (10) είναι Ι=0 .Οι αρχικές συνθήκες είναι φ(0)=φο=(k/D)I και φ΄(0)=0 .Η λύση είναι :

                                                 (11α)           φ=φο  [e-nωt*συν(ωt-τοξημn)]

2.Ακαριαία αποκατάσταση του ρεύματος :

Για t<0, Ι=0 για   στην (10) είναι Ι=Ι. Οι αρχικές συνθήκες είναι φ(0)=0 , φ΄(0)=0 . Η λύση είναι :

        φ=φο(1- ) [e-nωt*συν(ωt-τοξημn)]

 

Τόσο στην περίπτωση 1 όσο και στην 2 έχουμε αποκατάσταση στη θέση ισορροπίας με φθίνουσα ταλάντωση και κυκλική "συχνότητα" ω που όπως φαίνεται από την (9) είναι μικρότερη από την ιδιοσυχνότητα ω της αμείωτης ταλάντωσης .

Ο λόγος λ δθ\υο ομόρροπων πλατών , που απέχουν χρονικά μια "περίοδο" Τ=2π/ω , όπως φαίνεται από τις (11) , είναι σταθερός και ονομάζεται λόγος απόσβεσης

                                   (12)       Αο/Α2=Α1/Α3=.........=λ=

H ποσότητα  

                                   (13)        δ=lnλ=

είναι η λογαριθμική μείωση .

 

Β)  Μεγάλη απόσβεση :  n>1

Στην περίπτωση  αυτή η χαρακτηριστική έχει πραγματικές ρίζες και η λύση της  (7α)  έχει τη μορφή :

                              φ(t)=(k/D)I+(A+B)

με α= ω

Για τις αρχικές συνθήκες 1 και 2 , που χρησιμοποιήθηκαν παραπάνω η λύση γίνεται αντίστοιχα :

Μηδενισμός ρεύματος :                 φ=φοsinh(αt+β)        

Αποκατάσταση ρεύματος :             φ=φο[1-sinh(αt+β) ]   όπου coshβ=n

Τόσο στην περίπτωση 1 όσο και στην 2 έχουμε απεριοδική άφιξη στη θέση ισορροπίας

 

Γ)  Ορική ή κρίσιμη απόσβεση :    n=1

Στην περίπτωση αυτή η λύση της (10) έχει την μορφή :( η χαρακτηριστική εξίσωση έχει δυο ρίζες ίσες )

                                                          φ=(k/D)I+(At+B) 

που με τις αρχικές συνθήκες 1 και 2 γίνεται :

Μηδενισμός ρεύματος :                φ=φο(ωt+1)

Αποκατάσταση ρεύματος :           φ=φο[1-(ωt+1)]

Έχουμε ,όπως και στην περίπτωση n>1 , απεριοδική άφιξη στη θέση ισορροπίας.

Στην περίπτωση n=1 έχουμε  την ταχύτερη αποκατάσταση της ισορροπίας .

 

 

4.    Βαλλιστικό γαλβανόμετρο .

Αν από ένα γαλβανόμετρο περάσει ρεύμα , που διαρκεί χρόνο τ πολύ μικρότερο από την ιδιοπερίοδο Το του πλαισίου , τότε η μέγιστη απόκλιση φ του πλαισίου είναι ανάλογη προς το ολοκλήρωμα

                                                       

δηλαδή με το φορτίο q . Το όργανο στην περίπτωση αυτή λέγεται βαλλιστικό και χρησιμεύει στη μέτρηση ηλεκτρικών φορτίων . Η κίνηση υπακούει στη διαφορική εξίσωση (7α) και η μελέτη χωρίζεται στα χρονικά στάδια:

1.      Για  . Επειδή τ<<Το , το πλαίσιο δεν έχει προφθάσει να στραφεί αλλά στο χρονικό διάστημα τ , κάτω από την επίδραση της ώθησης ροπής , αλλάζει η στροφορμή του από 0 σε Lo . Επειδή ΔL=ώθηση ροπής , έχουμε

                                    (14)                 Lo=kq

2.    Για       η κίνηση του πλαισίου υπακούει στην (7β) με ξ=φ . Οι αρχικές συνθήκες είναι:

                                  (15)               φ(0)=0  κ΄      φ΄(0)=Lo/θ=(k/θ)q

Τώρα βάζοντας τις (15) στις κατάλληλες λύσεις της (7β) της παρ. 3 ανάλογα με τη τιμή του συντελεστή απόσβεσης n βρίσκουμε εύκολα τις εκφράσεις :

α)   Μικρή απόσβεση :   n<1

θέτουμε:

                                      (16)            b=k/

Βρίσκουμε

                                      φ=bq    

H μέγιστη απόκλιση φ είναι

                                     (17α)            φ=bq*exp{(-n/)τοξεφ(  /n)

β. Μεγάλη απόσβεση  :       n>1

                                     φ=bq

                                       (17β)         φ=bq*exp{(-n/)τοξεφ( /n)

γ. Κρίσιμη απόσβεση :    n=1

                                    φ=bqωt 

                                                    (17γ)       φ=bq/e

Από τις εκφράσεις (17) φαίνεται ότι η μέγιστη απόκλιση φ είναι ανάλογη με το φορτίο q. Ο συντελεστής αναλογίας b στη σχέση

                                      (18)       φ=qb

ονομάζεται βλητική σταθερά  του βαλλιστικού γαλβανομέτρου . Από τις εκφράσεις (17) φαίνεται ότι η βλητική σταθερά εξαρτάται από την απόσβεση n , δηλαδή από την αντίσταση του κυκλώματος του οργάνου . Η ποσότητα b είναι η βλητική σταθερά για μηδενική απόσβεση n=0.

Tο βαλλιστικό γαλβανόμετρο πρέπει να έχει μεγάλη περίοδο Το σχετικά με το χρόνο διέλευσης του ρεύματος . Η αύξηση της Το μπορεί να γίνει με ελάττωση του D του νήματος ανάρτησης του πλαισίου ή  με προσθήκη στον άξονα του πηνίου ενός δίσκου που αυξάνει τη ροπή αδρανείας θ.

 

5.   Μέτρηση μαγνητικού πεδίου με εκβαλλόμενο πηνίο και βαλλιστικό γαλβανόμετρο.

 

Έστω ότι στη περιοχή μαγνητικού πεδίου Β έχουμε μικρό πηνίο με Ν σπείρες κάθετες στο Β . Το πηνίο συνδέεται με βαλλιστικό γαλβανόμετρο . Αν απομακρύνουμε το πηνίο γρήγορα  σε θέση στη οποία είναι Β=0 από το κλειστό κύκλωμα θα περάσει φορτίο q

Αν S το μέσο εμβαδόν των σπειρών του πηνίου και Rολ η ολική αντίσταση του κυκλώματος έχουμε μέγιστη απόκλιση φ=bq που δίνει :

                                          (19)      Β=(Rολ/bNS)φ

Η βλητική σταθερά b προσδιορίζεται με τρόπο που θα εκτεθεί πιο κάτω.

 

6. Τύποι για τον προσδιορισμό των μεγεθών γαλβανομέτρου από πειραματικά δεδομένα .

 

Τα βασικά χαρακτηριστικά μεγέθη του γαλβανομέτρου είναι η ευαισθησία Εi , η περίοδος Το=2π/ω , η αντίσταση του πλαισίου Rγ και η κρίσιμη αντίσταση Rκ.

Αν μετρήσουμε την περίοδο Τ του γαλβανομέτρου σε ανοιχτό κύκλωμα (Rολ=  ) , τον αντίστοιχο λόγο απόσβεσης λ και τα όμοια μεγέθη Τ  ,  k  σε κύκλωμα με γνωστή αντίσταση Rολ , καθώς και την ευαισθησία Εi , μπορούμε να βρούμε με υπολογισμό  τα υπόλοιπα μηχανικά και ηλεκτρικά μεγέθη .

Από τους λόγους απόσβεσης  λ και την (13) προκύπτουν οι ανηγμένες αποσβέσεις n. Σημειώνουμε ότι για λ<<3 , που χρησιμοποιούμε στη μέτρηση , έχουμε n2<<1 και συνεπώς n=lnλ/2π  με προσέγγιση μεγαλύτερη από 2%  .

Πρώτα βρίσκουμε την ω . Για λ<<3 στην (9) παραλείπουμε το n2 και θα έχουμε                           . Παίρνουμε τη μέση τιμή των Τ , Τ  και έχουμε :

                                        (20)         ω=4π/(Τ +Τ )

Έχουμε από την τελευταία των σχέσεων (8):

Ρ/2θ=ω n                          (από την Ρ=Ρ +k2/Rολ     για Roλ άπειρη  )

k2/2Roλθ=ω (n -n  )         (από την Ρ=Ρ + k2/Roλ    για Roλ=Roλ)

και    D/θ=ω2      ,      k/D=Ei                αντίστοιχα από (8) και (4)

Οι υπολογισμοί είναι πιο εύκολοι αν βρούμε το k και μ' αυτό εκφράσουμε τα υπόλοιπα άγνωστα μεγέθη D, θ, Ρ . Έτσι βρίσκουμε :

                                        (21α)        k=2Roλ(nR -noo )/Eiω

                                        (21β)        D=k/Ei

                                        (21γ)        θ=k/Ei ω2

                                        (21δ)        Ρ=2n k/Eiω

 

Υπολογισμός της κρίσιμης αντίστασης Rκ .                                          

 

Για την εύρεση της Rκ εξισώνουμε στην τρίτη από τις (8) το n με τη μονάδα και βρίσκουμε :

                                       (22)          Rκ=k2/(2θω -Ρ )

 

7.  Παρατηρήσεις πάνω στη χρήση γαλβανομέτρου .

 

α) Μέτρηση ρεύματος : Έστω ότι θέλουμε να μετρήσουμε το ρεύμα Ι που διαρρέει έναν αγωγό ΑΒ μιας συσκευής Σ . Έστω Rα η αντίσταση που μετράμε από το ΑΒ  όταν λείπει ο αγωγός ΑΒ . Η κυκλοφορία του Ι απαιτεί ύπαρξη    ΗΕΔ Ε=Rα*I. Για τη μέτρηση του ρεύματος διακόπτουμε τον αγωγό και παρεμβάλλουμε γαλβανόμετρο με αντίσταση Rγ. Tο ρεύμα θα αλλάξει σε i τέτοιο ώστε Ε=(Rα+Rγ)i. Το όργανο θα δείχνει  απόκλιση φο που αντιστοιχεί σε ρεύμα  i=I/(1+Rγ/Rα)  δηλαδή :

(23) φο=Εi*i=[Ei/(1+Rγ/Rα)]*Ι

Παρατηρούμε ότι iàI όταν  (Rγ/Rα)   0 Οι συνθήκες μέτρησης ρεύματος είναι ιδανικές όταν Rα       Πηγές με πρακτικά άπειρο Rα είναι τα φωτοκύτταρα , οι φωτοπολλαπλασιαστές , οι θάλαμοι ιονισμού κ.α. Σε τέτοιες πηγές το ρεύμα είναι ανεξάρτητο  από την εξωτερική αντίσταση Rγ και ίσο με το ρεύμα βραχυκύκλωσης Ι .

 

β)  Μέτρηση τάσης.

 

Έστω ότι δυο σημεία  μιας συσκευής έχουν διαφορά δυναμικού Uo την οποία θέλουμε να μετρήσουμε με ένα όργανο. Αν Rα η αντίσταση που ορίστηκε στο (α), μετά τη σύνδεση του οργάνου  θα έχουμε ρεύμα i=Uo/(Rα+Rγ) και η τάση U που θα μετράει το όργανο θα είναι U=Rγ*i=Uo/(1+Rα/Rγ)

(24) φο= Ευ*U=[Eυ/(1+Rα/Rγ)] *Uo

Παρατηρούμε ότι ιδανικές συνθήκες  για τη μέτρηση τάσης έχουμε όταν Rα<<Rγ , γιατί τότε  U=Uo.

 

γ)  Επίτευξη της κρίσιμης απόσβεσης .

 

Η ύπαρξης της κρίσιμης απόσβεσης επιδιώκεται , γιατί ελαττώνει το χρόνο απόκλισης του οργάνου και το χρόνο μετρήσεων. H μηχανική απόσβεση Ρ  είναι συνήθως πολύ μικρότερη από την επαγωγική  (Βnl1l2)2/Rολ . Η αντίσταση Rολ του κλειστού κυκλώματος του γαλβανομέτρου εκλέγεται ίση με (στην πράξη λίγο μεγαλύτερη από ) την κρίσιμη τιμή Rκ.

Αν πρόκειται να μετρήσουμε ρεύμα μιας πηγής με μεγάλη αντίσταση Rα ( π.χ. φωτοκύτταρο ) , τότε το γαλβανόμετρο πάλλεται πρακτικά σε ανοιχτό κύκλωμα ()  και ο χρόνος  για την αποκατάσταση  ισορροπίας είναι μεγάλος . Για την επίτευξη κρίσιμης απόσβεσης συνδέουμε στους ακροδέκτες του οργάνου μια αντίσταση R τέτοια ώστε να έχουμε Rγ+R=Rκ

Αν η αντίσταση Rα της πηγής του ρεύματος  είναι μεγαλύτερη από την Rγ , αλλά πεπερασμένη , τότε η R που θα συνδεθεί στους ακροδέκτες του οργάνου εκλέγεται τέτοια που να έχουμε Rγ+=Rκ

 Για την επίτευξη κρίσιμης απόσβεσης ,όταν πρόκειται να μετρηθεί τάση από πηγή με μικρή εσωτερική αντίσταση ,η πρόσθετη αντίσταση R  μπαίνει σε σειρά με τη πηγή.

 

 

Πειραματική διαδικασία

 

1.   Πραγματοποιούμε το παρακάτω κύκλωμα

 

 

Για την μέτρηση της ευαισθησίας διαβιβάζουμε ρεύμα Ιο της τάξης του 1-2 mA και μετρούμε την απόκλιση S της κηλίδας στην κλίμακα (η κηλίδα προέρχεται από ανάκλαση της δέσμης πάνω στο κάτοπτρο του πλαισίου του γαλβανομέτρου ). Το ρεύμα που περνάει από το γαλβανόμετρο είναι

               ενώ     δi=δΙο*Rδ/(R2+Rγ)

 

(Η προσέγγιση ισχύει , γιατί παίρνουμε Rδ<<R2+Rγ)

 

 Έτσι έχουμε :

 

 

Io(A)

δΙο

Rδ(Ω)

R2(Ω)

Rγ(Ω)

i

δi

2,00E-03

5,00E-05

1

2200

28

9E-07

2,2E-08

1,50E-03

5,00E-05

1

2200

28

6,7E-07

2,2E-08

1,00E-03

5,00E-05

1

2200

28

4,5E-07

2,2E-08

 

 

Ύστερα από το τύπο (6)Εi (mm/Am)=S(mm)/[2*I(A)*L(m)]

και με σφάλμα                         δΕi=  βρίσκουμε τα Εi και δ Εi

     

 

S(mm)

δS(mm)

L(m)

δL(m)

Εi(mm/Am)

δΕi(mm/Am)

Ei(rad/A)

δΕi(rad/A)

33,5

0,5

0,258

3,00E-03

72323643,4

2267522,1

36161,82

1133,761

28

0,5

0,258

3,00E-03

80599483,2

3188722,63

40299,74

1594,361

24

0,5

0,258

3,00E-03

103627907

5741057,13

51813,95

2870,529

 

Εφαρμόζοντας τη θεωρία συνυπολογισμού σφαλμάτων έχουμε

                                                 Εi=(43000+5000)(rad/A)

 

Aπό τον τύπο Εu=Ei/Rγ   με σφάλμα  δΕu= δΕi/Rγ. Οπότε :

                                                 Εu=(1540+180)(rad/V)

 

Για να βρούμε την περίοδο Τ1 και το λόγο απόσβεσης λ μετράμε το χρόνο για 4 πλήρεις ταλαντώσεις του γαλβανομέτρου καθώς και τα πλάτη της ταλάντωσης (επαναλαμβάνουμε και με άπειρη αντίσταση, αποσυνδέοντας την R2).Έτσι έχουμε :

 

 

 

Πλάτος          Ταλάντωσης

 

 

 

 

 

R2(Ω)

Αο(mm)

A1(mm)

A2(mm)

A3(mm)

A4(mm)

A5(mm)

A6(mm)

A7(mm)

A8(mm)

2200

44

-39

24

-19

17

-11

10

-6

7

άπειρη

44

-35

34

-27

25

-20

19

-15

15

 

 

Σημειώνουμε εδώ πως η διαφορά μεταξύ των δυο παρατηρήσεων οφείλεται στις τυχαίες δονήσεις στις οποίες υποβαλλόταν η ευαίσθητη στους κραδασμούς πειραματική διάταξη.

Οι απαιτούμενοι για τις τέσσερις ταλαντώσεις χρόνοι βρίσκονται 20,02 και 20,63 sec, οπότε είναι

Τ1=5,05 sec,  T2=5,1575 sec

Για το λόγο απόσβεσης έχουμε λi=

. Έτσι έχουμε :

 

R2(Ω)

λ1

λ2

λ3

λ4

λ5

λ6

λ7

2200

1,8333333

2,05263

1,41176

1,7273

1,7

1,83333

1,42857

άπειρη

1,2941176

1,2963

1,36

1,35

1,31579

1,33333

1,26667

 

Από αυτές τις τιμές υπολογίζουμε το λόγο απόσβεσης και το σφάλμα του.

 

λ1=1,71 + 0,09

λ2=1,317 + 0,013

Από τον τύπο (13) και με σφάλμα δδ=δλ/λ,  παίρνουμε την τιμή της λογαριθμικής μείωσης

  δ2=0,28+0,01

δ1=0,54 + 0,05

 n=     και σφάλμα  δn=

 

noo=0,05 + 0,16

nR=0,09 +  0,16

 

Τώρα θα υπολογίσουμε την ιδιοσυχνότητα  ω .Ισχύει

  ω=4π/(Τ1+Τ2)   και                                        δω=

 

οπότε:    ω=(0,814 + 0,002)(rad/sec)

 

Aπό τον τύπο  (21α)                                                K=2Rολ(nR-noo)/(εiωο)

  και                                 δk=              

 

                έχουμε                     k=(0,0051+0,0288) (A*Ω*sec/rad2)

 

Από τον τύπο (21β)   D=K/εi   και δD =                                                                                        

έχουμε:

 

                                                  D=(12+ 67)E-08   (A^2*Ω*sec/rad^2)

 

Από τον τύπο (21γ)   Θ= K/(εiω2ο)    και δΘ=                                                                                    έχουμε :

 

                                                   Θ=(1,01+1,007)Ε-06  (Α^2*Ω*sec^3/rad^2)

 

Από τον τύπο (21δ)  Poo=2 noo K/(εiωο)     και δ Poo =                                                    έχουμε: Poo =(17,8+2,1)E-09               (A2*Ω*sec2/rad2)   

 

Επίσης    Ρεπ=k2/Roλ και  δΡεπ=2kδk/Roλ                                                                έχουμε :

 

                                                   Pεπ=(11+4)Ε-09   (A2*Ω*sec2/rad2)

 

Τέλος  από τον τύπο (22) Rκ= και

δRκ =             

 

έχουμε:

 

                                                      Rκ=(15+70)  Ω

 

Για την εύρεση της κρίσιμης αντίστασης Rκ πειραματικά μετράμε το χρόνο που χρειάζεται το γαλβανόμετρο να επανέλθει  στη θέση ισορροπίας και να ηρεμήσει. Έτσι έχουμε:

 

 

R(Ω)

t(sec)

δt(sec)

R(Ω)

t(sec)

δt(sec)

200

13,9

0,5

100

8,2

0,5

190

12,2

0,5

90

6,9

0,5

180

11,9

0,5

80

7,4

0,5

170

11

0,5

70

7,6

0,5

160

11,9

0,5

60

4,9

0,5

150

11,1

0,5

50

5,3

0,5

140

8,9

0,5

40

6,9

0,5

130

8,7

0,5

30

7,2

0,5

120

8,6

0,5

20

6,1

0,5

110

8,9

0,5

10

9,9

0,5

 

Κάνουμε το διάγραμμα t=f(R2). Η συνεχής γραμμή προκύπτει εφαρμόζοντας μέθοδο μη γραμμικής παλινδρόμησης.

 

 

 Από το διάγραμμα βλέπουμε ότι για R2 περίπου 60 Ω έχουμε τον ελάχιστο χρόνο ηρεμίας . Ξέρουμε ότι Rγ=28 Ω. Άρα  Rκπ=R2+Rγ  Άρα η  Rκπ  είναι περίπου  88 Ω

 

Παρατήρηση

Συγκρίνοντας τις δύο τιμές κρίσιμων αντιστάσεων που υπολογίσαμε με τις δύο μεθόδους (άμεσα και έμμεσα) παρατηρούμε ότι οι δύο τιμές που υπολογίσαμε έμμεσα και άμεσα έχουν μια αρκετά σημαντική απόκλιση. Ακόμα η θεωρητική τιμή, όπως υπολογίστηκε, παρουσιάζει αρκετά μεγάλο σφάλμα, πράγμα που δεν επιτρέπει την αυστηρή σύγκρισή τους. Έτσι πρέπει να αρκεστούμε σε μια απλή προσέγγιση της τάξεως της Rκπ (περίπου 100 Ω).

 

 

 

Χρησιμοποιήθηκε το ακόλουθο λογισμικό.

Microsoft Excel  97   (υπολογισμοι διάδοσης σφαλμάτων-μη γραμμική παλινδρόμηση)

Microsoft Word 97    (τελική επεξεργασία)

Microsoft Qbasic      (εκτέλεση της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων)

PL1                           (εξaγωγή μέσων τιμών-σφαλμάτων από διαδοχικές μετρήσεις)

 

 

Συνυπολογίστηκαν τα παρακάτω σφάλματα οργάνων.

 

Σφάλμα ηλεκτρονικού βολτομέτρου                      0,005  V

Σφάλμα ηλεκτρονικού αμπερομέτρου                   0,001  mA

Σφάλμα ηλεκτρονικού χρονομέτρου                      0,01  sec