Στοιχεία θεωρίας.

 

Έστω RLC κύκλωμα που διεγείρεται από μια πηγή εναλλασομένου ρεύματος V=Vοημ(ωt+φ). Στα άκρα του πηνίου εμφανίζεται τάση από επαγωγή VL=-L, ενώ η τάση στα άκρα του πυκνωτή είναι Vc=. H τάση στα άκρα της ωμικής αντίστασης. VR=RI και ισχύει σύμφωνα με τον κανόνα του Kirkoff

 à

. Η λύση αυτής της διαφορικής εξίσωσης είναι I=Ioημ(ωt+φ) όπου το πλάτος Ιο του ρεύματος είναι   

Η διαφορά φάσης ρεύματος και τάσης θα είναι φ=-Arg(Z)=-arctan

Το πηλίκο Uo/Io ονομάζεται εμπέδηση ή σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος.  Ο παράγοντας    ονομάζεται άεργη αντίσταση, γιατί σε μια περίοδο τόσο ο πυκνωτής όσο και το πηνίο δεν καταναλώνουν ενέργεια.

Το πλάτος μεγιστοποιείται όταν ZL=ZC.  Τότε ωf=, δηλαδή όταν η συχνότητα της γεννήτριας γίνει ίση με την ιδιοσυχνότητα του κυκλώματος.

Στο RLC κύκλωμα έχουμε κατανάλωση ενέργειας μόνο από την R και  μπορούμε να ορίσουμε μια μέση ισχύ για το κύκλωμα ως την ενέργεια που καταναλώνεται σε χρόνο μιας περιόδου.

Η μέση ισχύς γίνεται μέγιστη για cosφ=1, δηλαδή στον συντονισμό ενώ παίρνει μεγάλες τιμές για μια περιοχή γύρω από αυτόν. Έτσι ορίζουμε ένα νέο μέγεθος που θα καθορίζει την περιοχή και θα ονομάζεται εύρος ζώνης και ορίζεται σαν τη διαφορά των κυκλικών συχνοτήτων για τις οποίες η μέση ισχύς παίρνει το μισό της μέγιστης τιμής της.

 

Συντελεστής  ποιότητας κυκλώματος .

 

Προκειμένου να χαρακτηρίσουμε την ικανότητα ενός κυκλώματος RLC να αποταμιεύει ενέργεια ορίζουμε το συντελεστή ποιότητας κυκλώματος

 Q=2π*Μέση αποταμιευμένη ενέργεια στο συντονισμό /Απορροφούμενη ενέργεια σε1Τ στο συντονισμό.

 Το Q έχει άμεση σχέση με τα στοιχεία του κυκλώματος .Έτσι έχουμε :

Μέση αποταμιευμένη ενέργεια στο συντονισμό =(1/Τ)*

                    

Μπορούμε να συσχετίσουμε το συντελεστή ποιότητας με το εύρος ζώνης .Καταλαβαίνουμε ότι όσο μεγαλύτερη είναι η αντίσταση R του κυκλώματος , δηλαδή μικρό Q  , τόσο η απορρόφηση ισχύος Από το κύκλωμα Δε θα μεταβάλλεται πολύ με τη συχνότητα κατά συνέπεια το εύρος ζώνης θα είναι μεγαλύτερο . Με πολύ απλά μαθηματικά μπορούμε να δείξουμε ότι :

Q*(ω2-ω1)=ω όπου ω  η συχνότητα συντονισμού. Η διαφορά ω2-ω1 είναι BW= ω2-ω1=R/L οπότε Q=ωο/BW

 

Εύρεση διαφοράς φάσης  με τη βοήθεια παλμογράφου

 

Ο παλμογράφος είναι ένα αναλογικό όργανο μετρήσεων που εμφανίζει στη οθόνη του κυματομορφές τάσεως σε συνάρτηση με το χρόνο. Η οθόνη του αποτελείται από μία λυχνία καθοδικών ακτίνων ηλεκτρονίων,  ηλεκτρονικούς φακούς για την εστίαση της δέσμης, πλακίδια οριζόντιας και κατακόρυφης απόκλισης και άλλα όργανα.

 

Θέτοντας τον παλμογράφο σε λειτουργία X-Y και τροφοδοτώντας τα δύο κανάλια του με αρμονικά σήματα που έχουν διαφορά φάσης φ αλλά ίδια συχνότητα παίρνουμε την καμπύλη Lissajous. Αυτή εν γένει παραμετρικοποιείται ως εξής:

x=Asin(φ+θ)

y=Bsin(θ)

με θ=ωt και θ[0,2π],t[0,Τ].

Τότε tanφ=α/b

 

 

 

Πειραματική διαδικασία

 

Πραγματοποιούμε το παρακάτω κύκλωμα με R=32Ω, C=100nF και L=0,1H .

Αρχικά δε συνδέουμε τον παλμογράφο αλλά μεταβάλουμε τη συχνότητα της γεννήτριας (με ενεργό τάση εξόδου U=2,04V)  παρατηρώντας τη μεταβολή της έντασης του ρεύματος (ενεργός τιμή) που μετριέται από το αμπερομέτρου. Η ενεργός ένταση παίρνει τη μέγιστη τιμή της (32,2 mA) για v=1582 Hz τιμή αρκετά κοντά στην αναμενόμενη à v0== 1590 Hz.  Ακόμα, μετράμε τις ενεργές τιμές της τάσης στα άκρα του πηνίου, του πυκνωτή και της αντίστασης και βρίσκουμε UL=32V Uc=31,9V UR=998mV. Όπως είναι αναμενόμενο, UL= Uc αφού το κύκλωμα είναι σε συντονισμό. Η τάση στα άκρα της αντίστασης είναι μικρότερη από την τάση στα άκρα του κυκλώματος (τάση εξόδου της γεννήτριας) αφού έχουμε πτώση τάσης και πάνω στον πυκνωτή, στο πηνίο καθώς και στους αγωγούς που τα συνδέουν.

 

Στη συνέχεια συνδέουμε και τον παλμογράφο και εφαρμόζουμε ημιτονικούς, τριγωνικούς και τετραγωνικούς παλμούς στο κύκλωμα. Διατηρούμε σταθερό το πλάτος της εκάστοτε εφαρμοσμένης τάσης στα 3V και μετράμε την ενεργό τάση στα άκρα του κυκλώματος και την ενεργό ένταση που το διαρρέει. Διατηρούμε, δε το κύκλωμα σε συντονισμό. Γνωρίζουμε ακόμα πως

i)     Για τον ημιτονικό παλμό Vrms=Vo/Ö2

ii)   Για τον τριγωνικό παλμό Vrms=Vo/2

iii)  Για τον τετραγωνικό παλμό Vrms=VoÖ2

Έτσι έχουμε τον παρακάτω πίνακα.

 

 

Uo (V)

Urms θεωρητ. (V)

Urms πειραμ. (V)

Irms (mA)

ημιτονικός

3

2,12132

1,8

33,7

Τριγωνικός

3

1,5

1,3

27

τετραγωνικός

3

4,242641

3,3

42,4

 

(Η διαφορά μεταξύ θεωρητικών και πειραματικών ενεργών τιμών οφείλεται στο γεγονός ότι οι ενεργές τάσεις μετρήθηκαν μέσω της πτώσης τάσης πάνω στην αντίσταση και όχι στα άκρα του κυκλώματος όπου είχε συνδεθεί ο παλμογράφος.)

 

Συνδέουμε και το δεύτερο κανάλι του παλμογράφου έτσι ώστε στο y κανάλι να έχουμε την εφαρμοζόμενη τάση στα άκρα του κυκλώματος και στο χ κανάλι την τάση στα άκρα της αντίστασης (δηλαδή το ρεύμα που τη διαρρέει). Έτσι παίρνουμε στην οθόνη τις λεγόμενες καμπύλες Lissajous. Μεταβάλλοντας μόνο τη συχνότητα της γεννήτριας καταγράφουμε τα a,b  και Irms. Είναι

 

v (Hz)

a

b

Irms(A)

v Hz

a

b

Irms(A)

300

5,4

0,2

0,0004

1565

0,6

2,8

0,0291

350

5,6

0,2

0,0005

1573

0,2

2,8

0,0309

400

5,6

0,2

0,0006

1580

0,1

2,8

0,0324

450

5,6

0,2

0,0007

1585

0,5

2,8

0,0327

500

5,6

0,2

0,0008

1590

0,5

2,8

0,0335

700

5,6

0,2

0,0012

1597

1

2,8

0,0328

800

5,4

0,2

0,0014

1600

1,4

3,2

0,0325

1000

5,3

0,2

0,0022

1610

1,4

2,8

0,0310

1100

5,2

0,2

0,0026

1620

1,8

2,7

0,0288

1200

5,1

0,2

0,0036

1630

2,6

2,4

0,0263

1300

5,1

0,8

0,0051

1640

2,8

2,4

0,0239

1400

4,8

1,2

0,0081

1650

3,2

2,4

0,0217

1500

4,4

3,6

0,0155

1660

3,2

2,2

0,0199

1520

2,8

2,4

0,0187

1670

3,7

2

0,0183

1530

2,4

2,4

0,0206

1700

4,2

2

0,0142

1540

2,1

2,6

0,0228

1750

4,6

1,4

0,0104

1550

1,6

3

0,0252

1800

5

1,2

0,0081

1560

0,8

2,8

0,0278

1850

5

1,1

0,0067

1565

0,6

2,8

0,0291

1900

5

1

0,0057

 

 

 

Παρατηρούμε ότι κατά τη διάρκεια του πειράματος η καμπύλη Lissajous μεταβάλλεται . Όσο αυξάνει η συχνότητα προς τη συχνότητα συντονισμού, η έλλειψη αρχίζει να «μακραίνει», δηλαδή ο μεγάλος ημιάξονας της συνεχώς αυξάνεται ενώ ο μικρός μειώνεται, με αποτέλεσμα να εκφυλίζεται σε ευθεία ακριβώς στη συχνότητα συντονισμού. Η καμπύλη Lissajous ξαναγίνεται καμπύλη για συχνότητες μεγαλύτερες της συχνότητας συντονισμού. Η μεταβολή αυτή της καμπύλης οφείλεται στο ότι η διαφορά φάσης των σημάτων των δυο καναλιών του παλμογράφου μεταβάλλεται επίσης. Αν στα αρμονικά σήματα κρατήσουμε τη διαφορά φάσης τους σταθερή και αλλάζουμε το πλάτος στο ένα από τα δύο, τότε ο λόγος 2α/2b =σταθ και άρα η μορφή της έλλειψης θα αλλάζει, έτσι ώστε η διαφορά φάσης να μένει σταθερή.

 

Το γεγονός ότι κατά το συντονισμό έχουμε τον εκφυλισμό της έλλειψης σε ευθύγραμμο τμήμα  οφείλεται στο εξής: κατά το συντονισμό η εμπέδηση του πυκνωτή γίνεται ίση με την εμπέδηση του πηνίου, οπότε η εμπέδηση ολόκληρου του κυκλώματος ισούται με την ολική ωμική αντίσταση του κυκλώματος . Στην περίπτωση αυτή η διαφορά φάσης μεταξύ των δύο αρμονικών σημάτων γίνεται 0 κατά συνέπεια το 2α=0.Όπως προκύπτει όμως από το σχήμα της καμπύλης Lissajous, αυτό συνεπάγεται τον εκφυλισμό της έλλειψης σε ευθύγραμμο τμήμα πάνω στη διχοτόμο. Χρησιμοποιώντας μαθηματικούς όρους θα λέγαμε ότι η εκκεντρότητα της έλλειψης τείνει στο άπειρο : 宥 Το γεγονός

αυτό ερμηνεύεται από το φαινόμενο του συντονισμού . Η σχέση που μας δίνει τη διαφορά φάσης συναρτήσει της κυκλικής συχνότητας ω είναι . Η ποσότητα Lω-1/Cω μεταβάλλεται από μια μέγιστη τιμή σε μια ελάχιστη ( 0 )και ξανά σε μια μέγιστη, καθώς μεταβάλλεται η κυκλική συχνότητα ω . Έτσι είναι επόμενο να μεταβάλλεται και η διαφορά φάσης  φ .

 

Με δεδομένη τη Urms=2,08+0,01V και με δΙ=0,0001Α  υπολογίζουμε την εμπέδηση Z, τη διαφορά φάσης φ και τη μέση καταναλισκόμενη ισχύ καθώς και τα σφάλματά τους.

 

         

 

  ω=2πν      δω=2πδν

   φ=arctan(2α/2β               

 

και <Ρ>=Urms Irms cosφ     με

 

 

 

ω(rad/sec)

δω(rad/sec)

Z(Ω)

δZ(Ω)

φ(rad)

δφ(rad)

P(W)

δP(W)

1884,956

6,283185

5200

1300,24

1,533776

0,001746

3,08E-05

7,84E-06

2199,115

6,283185

4160

832,2403

1,535097

0,001624

3,71E-05

7,62E-06

2513,274

6,283185

3466,667

578,0181

1,535097

0,001624

4,45E-05

7,7E-06

2827,433

6,283185

2971,429

424,7301

1,535097

0,001624

5,2E-05

7,79E-06

3141,593

6,283185

2600

325,2403

1,535097

0,001624

5,94E-05

7,9E-06

4398,23

6,283185

1733,333

144,6846

1,535097

0,001624

8,91E-05

8,47E-06

5026,548

6,283185

1485,714

106,3626

1,533776

0,001746

0,000108

9,24E-06

6283,185

6,283185

945,4545

43,21492

1,533078

0,001813

0,000173

1,14E-05

6911,504

6,283185

800

31,00868

1,532354

0,001883

0,000208

1,3E-05

7539,822

6,283185

577,7778

16,28799

1,531601

0,001957

0,000293

1,68E-05

8168,141

6,283185

407,8431

8,233801

1,415201

0,002403

0,001644

4,17E-05

8796,459

6,283185

256,7901

3,402151

1,325818

0,00319

0,004086

7,52E-05

9424,778

6,283185

134,1935

1,079714

0,885067

0,00578

0,020416

0,000219

9550,442

6,283185

111,2299

0,799856

0,86217

0,009559

0,025313

0,000336

9613,274

6,283185

100,9709

0,689852

0,785398

0,011285

0,030298

0,0004

9676,105

6,283185

91,22807

0,593688

0,679414

0,012469

0,036893

0,000442

9738,937

6,283185

82,53968

0,51454

0,489957

0,013678

0,046249

0,000444

9801,769

6,283185

74,82014

0,449252

0,2783

0,017531

0,055599

0,000435

9833,185

6,283185

71,47766

0,422402

0,211093

0,018129

0,059184

0,000419

9883,45

6,283185

67,31392

0,390114

0,071307

0,018866

0,064109

0,000381

9927,433

6,283185

64,19753

0,366769

0,035699

0,018938

0,067349

0,000387

9958,849

6,283185

63,60856

0,362434

-0,176709

0,018376

0,066957

0,00044

9990,265

6,283185

62,08955

0,351366

-0,176709

0,018376

0,068595

0,000449

10034,25

6,283185

63,41463

0,361012

-0,343024

0,016817

0,064249

0,000532

10053,1

6,283185

64

0,365313

-0,41241

0,01374

0,061932

0,000513

10115,93

6,283185

67,09677

0,388465

-0,463648

0,015169

0,057673

0,00055

10178,76

6,283185

72,22222

0,42831

-0,588003

0,013672

0,049843

0,000542

10241,59

6,283185

79,08745

0,48477

-0,825377

0,010383

0,037105

0,000475

10304,42

6,283185

87,02929

0,554675

-0,86217

0,009559

0,032352

0,000416

10367,26

6,283185

95,85253

0,63834

-0,927295

0,008125

0,027082

0,000344

10430,09

6,283185

104,5226

0,726908

-0,968509

0,008013

0,02345

0,000318

10492,92

6,283185

113,6612

0,827267

-1,075245

0,00632

0,0181

0,000249

10681,42

6,283185

146,4789

1,249004

-1,126377

0,005167

0,012699

0,000175

10995,57

6,283185

200

2,150065

-1,275355

0,003721

0,006298

0,000103

11309,73

6,283185

256,7901

3,402151

-1,335251

0,002954

0,003932

7,11E-05

11623,89

6,283185

310,4478

4,868002

-1,354246

0,002836

0,002994

6,08E-05

11938,05

6,283185

364,9123

6,638003

-1,373401

0,00272

0,002325

5,28E-05

 

Κατασκευάζουμε τις γραφικές παραστάσεις  Ι=f(ω)  , φ=f(ω)  , Z=f(ω)   ,    <Ρ>=f(ω)

 

 

 

 

 

 

Από την παραπάνω γραφική παράσταση έχουμε ότι <Ρ>max~68,5+0,5mW  και αντιστοιχεί σε ω=9950+100rad/sec. Άρα ½<Ρ>max=34,25+0,25mW και αντιστοιχεί σε ω1=9600+100 (rad/sec) και ω2=10300+100 rad/sec. Άρα  Bandwidth=(ω2-ω1)=700 rad/sec και =141 rad/sec Οπότε    Β=( 700+140) (rad/sec)

Ακόμα   με

 

Άρα :                Q=14+3

Υπολογίζουμε το Rολ , το C , το L , την Rl και τα σφάλματά τους και έχουμε:

 

α)Όταν έχουμε συντονισμό Z=Rολ. Άρα :

                                              Rολ=(60+5) Ω

Αυτό μας δίνει ότι Rl=Rολ-R  και δRl=δRoλ , όπου R=32Ω. Άρα :

                                             Rl=(28+5) Ω

β) L=Q*Rολ/ωο  και δL=  

Άρα :                                          L=(0,08+0,02) H

γ) C=1/Lωο2   και δC=

Άρα :                                   C=126+32 nF

 

 

 

ΜΗΧΑΝΙΚΟ ΑΝΑΛΟΓΟ

 Η διαφορική εξίσωση που το περιγράφει το κύκλωμα της άσκησης είναι:

                                               

Η παραπάνω διαφορική εξίσωση μας θυμίζει την

                                               

από τη μηχανική ,η οποία αντιστοιχεί σε εξαναγκασμένη αρμονική ταλάντωση με τριβή υπό την επίδραση της ημιτονικής δύναμης .

Οι αντιστοιχίες είναι:

Μετατόπιση xàΦορτίο Q

Ταχύτητα UàΡεύμα Ι

Μάζα màΑυτεπαγωγή L

Συντ.τριβής bàΑντίσταση R

Σταθερά ελατηρίου κàΑντίστροφη χωρητικότητα 1/C

Εξωτερική δύναμη F(t)àΗΕΔ Ε(t)

 

 

Χρησιμοποιήθηκε το ακόλουθο λογισμικό.

Microsoft Excel  97   (υπολογισμοι διάδοσης σφαλμάτων-μη γραμμική παλινδρόμηση)

Microsoft Word 97    (τελική επεξεργασία)

 

 

 

Συνυπολογίστηκαν τα παρακάτω σφάλματα οργάνων.

 

Σφάλμα ηλεκτρονικού βολτομέτρου                      0,005  V

Σφάλμα ηλεκτρονικού αμπερομέτρου                   0,0001  A

Σφάλμα γεννήτριας συχνοτήτων                           1 Hz